Com ja sabem, els angles d'un triangle sumen $180^\circ$. Com podem dividir un hexàgon en $4$ triangles, els angles d'un hexàgon sumen $4\cdot180=720^\circ$.

Fixem-nos també que en un hexàgon convex, cap angle pot ser major de $180^\circ$.

Per comprovar si un hexàgon pot tenir $n$ angles aguts, hem d'esbrinar si els $6-n$ angles restants poden sumar més de $720-90n$ graus, sense que cap d'ells passi dels $180^\circ$.

Els $6$ angles d'un hexàgon sumen $4\cdot180=720^\circ$, com podem deduir dividint-lo en $4$ triangles:

Com l'hexàgon és convex, tots els seus angles han de ser menors de $180^\circ$. Els angles aguts, per la seva banda, són menors de $90^\circ$.

Si tenim $3$ angles aguts, els altres $3$ angles hauran de sumar més de $720-3\cdot90=450^\circ$, cosa perfectament factible. Per exemple:

En canvi, si tinguéssim $4$ angles aguts, llavors els altres dos angles haurien de sumar més de $720-4\cdot90=360^\circ$, i per tant algun dels dos hauria de ser major que $180^\circ$, però llavors l'hexàgon no seria convex.

Així doncs, la solució és $\boxed3$.