Com a primera observació, com que tots els costats nous seran paral·lels als costats vells, els angles seran els mateixos. De manera que els triangles seran semblants. Dos triangles semblants tenen la mateixa proporció entre qualsevol parella corresponent de costats. Si l'àrea es multiplica per $16$, vol dir que els costats es multipliquen per $\sqrt{16} = 4$. Ara cal relacionar $x$ amb els nous costats. Això es pot fer directament, amb una mica d'enginy trobant triangles semblants a l'original.

Una opció més simple és considerar un punt que estigui a la mateixa distància de tots els costats, punt que anomenem l'incercle.

Considerem l'incercle del triangle, que és el punt que està en la intersecció de les tres bisectrius del triangle. Les distàncies als tres costats són les mateixes, suposem que valen $r$. Podem trobar $r$ usant la fòrmula de l'àrea del triangle.

L'àrea del triangle és $3\cdot4/2 = 6$, però també la podem escriure en funció de $r$: $5\cdot r/2+4\cdot r /2 + 3\cdot r /2 = 6r$. Per tant, $r = 1$. Observem que el triangle gran té el mateix incentre, només canvia el seu inradi. Tenint en compte que el triangle gran té la mateixa forma que el triangle petit, però és $4$ cops més gran, podries deduïr quin és el valor de $x$?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.