El problema dels alfils

El proper dilluns (15 de maig) tindrà lloc la primera Contrarellotge temàtica sobre els escacs. Per anar entrant en matèria, us proposo el «Problema dels alfils» (recordem que els alfils es mouen en diagonal pel tauler).

Quin és el màxim nombre d'alfils que podem situar a un tauler d'escacs (8×8 caselles) sense que cap parella d'alfils s'amenacen entre ells?

Properes contrarellotges: sobre els escacs i amb premi!

Actualització: hem canviat les dates que havíem anunciat inicialment per no fer coincidir cap concurs amb el lliurament de premis del Cangur (29 de maig). A més, sí que realitzarem una contrarellotge de 2n de Batxillerat (inicialment havíem dubtat per la proximitat de les PAU).

Finalment, les properes contrarellotges queden convocades els dies:

• Dilluns 15 de maig a les 19h: 2n d'ESO.
• Dilluns 22 de maig a les 19h: 4t d'ESO.
• Dilluns 5 de juny a les 19h: 2n de Batxillerat.

El tema d'aquestes proves seran els escacs, així que hi hauran alguns problemes sobre el tauler d'escacs, els salts de cavall, etc.

Com a novetat, aquests concursos tindran un premi per al primer classificat: un pòster amb figures geomètriques del món antic.

Ja podeu registrar-vos per participar als concursos: així rebreu un avís els dies abans de la prova i us informarem de qualsevol novetat.

Les primeres contrarellotges han sigut un èxit

Les primeres contrarellotges han sigut un èxit! Donem les gràcies als més de 100 usuaris que han participat en les tres proves i felicitem els guanyadors: Gauss (2n d'ESO), Julian (4t d'ESO) i jolivetti (2n de batxillerat).

La vostra participació i entusiasme ens anima a seguir amb el projecte i aviat convocarem les properes contrarellotges.

L'estudiant Pau Cartanyà ens ha enviat una solució alternativa al problema 15 de la contrarellotge de 2n de batxillerat, més elegant que la solució oficial. Aquí us reproduïm el problema perquè el penseu una mica, i també la solució de Pau. Cal destacar que tant pcartanya com jolivetti van resoldre aquest problema correctament en a penes 1 minut i mig: impressionant!

Problema 15     5 punts

5 punts

Considerem el quadrat $ABCD$ de costat unitat, on anomenem $M$ el punt mig del costat $BC$ i $N$ el punt mig del segment $BM$. Unim $M$ i $N$ amb el vèrtex $A$, i dibuixem la diagonal $BD$:

Quant mesura l'àrea ombrejada?

A. $\frac15$

B. $\frac16$

C. $\frac1{12}$

D. $\frac1{15}$

E. $\frac1{16}$

Solució enviada per Pau Cartanyà (pcartanya)  

Sigui $P$ el punt d’intersecció dels segments $AM$ i $BD$ i $Q$ el punt d’intersecció dels segments $AN$ i $BD$. Aleshores l’àrea demanada en l’enunciat correspon a l’àrea del triangle $APQ$, que anomenarem $[APQ]$. Sigui $x$ l’altura del triangle $ABP$ corresponent al vèrtex $P$ . Aleshores l’altura del triangle $BMP$ també serà $x$ ja que $P$ es troba sobre $BD$, la bisectriu de l’angle que formen els segments $AB$ i $BM$. Definim també $y$ com l’altura del triangle $ABQ$ corresponent al vèrtex $Q$. Per un raonament anàleg a l’anterior, l’altura del triangle $BNQ$ serà també $y$. Tenim la figura següent:

En primer lloc, podem veure que: $[APQ] = [AMB] - [BMP] - [ABQ]$ A partir d'aquí calculem $[AMB]$ i $[ANB]$ a partir de la figura ja que en coneixem les seves bases $(AB = 1)$ i les seves altures $(BM = \frac12 , BN = \frac14 )$. A més, podem veure que $[AMB] = [ABP] + [BMP]$ i que $[AN B] = [ABQ] + [BNQ]$.

Per una banda, pel triangle $AMB$ tenim: $[AMB] = \frac{1\cdot\frac12}{2}=\frac14$ $[AMB] = [ABP] + [BMP] =\frac{1\cdot x}2 + \frac{\frac12\cdot x}2=\frac34x$ Igualant les dues equacions anteriors trobem $x$: $\frac14=\frac34x\quad\Rightarrow\quad x=\frac13$ Amb això podem calcular l'àrea $[BMP]$ que apareixia en la primera equació. $[BMP] =\frac{\frac12\cdot\frac13}2=\frac1{12}$ Per l'altra banda, anàlogament podem seguir el mateix raonament pel triangle $ANB$ i trobarem $y$: $[ANB] = \frac{1\cdot\frac14}{2}=\frac18$ $[ANB] = [ABQ] + [BNQ] =\frac{1\cdot y}2 + \frac{\frac14\cdot y}2=\frac58y$ Igualant les dues equacions: $\frac18=\frac58y\quad\Rightarrow\quad y=\frac15$ Ara podem calcular l'àrea $[ABQ]$ que ens falta de la primera equació: $[ABQ] = \frac{1\cdot\frac15}2 = \frac{1}{10}$ Finalment, substituïm els valors trobats en l'equació inicial i operem: $[APQ] = [AMB] - [BMP] - [ABQ] =$ $=\frac14-\frac1{12}-\frac1{10}=\frac{15-5-6}{60}=\frac4{60}=\frac1{15}$ Això demostra que l'àrea ombrejada demanada en l'enunciat és $\frac1{15}$ i conclou el problema.

Problema de l'eclipsi solar

Falten pocs dies per a les primeres contrarellotges i ja tenim més de 60 participants apuntats! Com a petit tast abans dels concursos, us deixo un problema per al cap de setmana.

Donada la següent imatge d'un eclipsi parcial de Sol, quin és el màxim nombre de seccions en què podem dividir aquesta "mitja lluna" traçant dues línies rectes?

Primera sèrie de contrarellotges. Tema: el Sol

Queden convocades les tres primeres contrarellotges: seran el 6, el 8 i el 10 de març a les 7 de la tarda, per als nivells de 2n d'ESO, 4t d'ESO i 2n de Batxillerat, respectivament. El tema de les contrarellotges serà el Sol, així que espereu problemes sobre òrbites, eclipsis i temperatures una mica més altes del que estem acostumats!

Per apuntar-vos a una contrarellotge, visiteu la pàgina del concurs i cliqueu el botó corresponent. D'aquesta manera us avisarem si hi ha cap canvi d'aquí al dia del concurs.

Llegiu les instruccions per saber els detalls del funcionament de les contrarellotges, i escriviu un comentari si teniu algun dubte al respecte.

Molta sort a tothom!

Benvinguts a la Contrarellotge matemàtica!

És un plaer per a mi donar-vos la benvinguda a la Contrarellotge matemàtica!

Inspirat per les Proves Cangur, i també pels concursos de programació, fa temps que volia portar els concursos matemàtics al món online. Les contrarellotges són concursos amb problemes d'estil test, en què tothom participa alhora, i en què els problemes s'han d'anar resolent un rere l'altre.

Amb l'objectiu de difondre les matemàtiques, el seu aprenentatge i gaudi, anirem organitzant concursos periòdicament. Els concursos vindran de tres en tres, un per cada nivell: 2n d'ESO, 4t d'ESO i 2n de Batxillerat. A més, els concursos seran temàtics, és a dir, la majoria d'enunciats seguiran un tema comú com a fil conductor.

Aquest és un projecte nou, en fase BETA. Això significa que poden sorgir alguns errors en el funcionament de la web, i per això us demanaré paciència. Però també significa que el projecte està obert a noves idees i propostes (ja en tinc algunes en ment), i totes seran ben rebudes.

Espero que us agrade la proposta, us apunteu a les contrarellotges que anirem preparant i feu difusió entre els vostres amics i companys!