Consulta el Problema del mes de setembre de 2n d'ESO, on trobaràs algunes idees per resoldre aquest problema.

Si sumem tots els nombres de l'$1$ al $9$ obtenim: $$1+2+\cdots+9=45$$ Si sumem els nombres dels tres costats del triangle, obtenim: $$S_{\text{costats}}=20+20+20=60$$ Com que els tres nombres dels vèrtexs els hem sumat dos cops, sabem que els tres vèrtexs sumaran: $$S_{\text{vèrtexs}}=60-45=15$$ Açò ens ajudarà a l'hora de provar com emplenar el triangle.

Com hem vist a la Pista 2, sabem que els tres vèrtexs sumen $15$. Usant aquesta informació i fent proves, trobem que hi ha $6$ formes d'emplenar el triangle si no tenim en compte girs i simetries: $$\begin{array}{cccccccccccccccc} &&&1\\ &&8&&7\\ &6&&&&3\\ 5&&2&&4&&9\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{cccccccccccccccc} &&&&&&2&&&&&&&&&&&2&&&&&\\ &&&&&6&&1&&&&&&&&&4&&7&&&&\\ &&&&7&&&&9&&&&&&&9&&&&3&&&\\ &&&5&&3&&4&&8&&&&&5&&1&&6&&8&&\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{cccccccccccccccc} &&&3\\ &&4&&9\\ &8&&&&1\\ 5&&2&&6&&7\\ \end{array}$$ $$\begin{array}{cccccccccccccccc} &&&&&&4&&&&&&&&&&&4&&&&&\\ &&&&&3&&1&&&&&&&&&2&&3&&&&\\ &&&&8&&&&9&&&&&&&9&&&&7&&&\\ &&&5&&2&&7&&6&&&&&5&&1&&8&&6&&\\ \end{array}$$ Els nombres que trobem als vèrtexs són: $$\text{Vèrtexs} = \begin{cases} (1,\ 5,\ 9)\\ (2,\ 5,\ 8)\\ (3,\ 5,\ 7)\\ (4,\ 5,\ 6)\end{cases}$$ En tots els casos, el nombre d'enmig dels quatre vèrtexs és el $5$.