En primer lloc, expressem en termes matemàtics la condició del problema. La superfície dels quadrats serà $$a^2+b^2$$

mentre que el perímetre d'un quadrat més el perímetre de l'altre serà $$4a+4b $$

És a dir, sabem que $$ a^2+b^2 = 4a +4b $$

El que podem fer és tractar aquesta igualtat com una equació de segon grau on la variable és $b$. Aleshores, resolent obtenim $$ b^2 - 4b + a(a-4) = 0 \implies b = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot a(a-4)} }{2} = 2 \pm \sqrt{4 - a(a-4) } $$

Recorda que $a,b$ són enters positius.

A continuació, hem de recordar que $a$ i $b$ són enters i positius, així que per començar sabem que el que queda dins de l'arrel haurà de ser un quadrat perfecte. Provant per a $a$ podem veure que $$\begin{cases} a = 1 \implies \sqrt{4-1(1-4)}=\sqrt{7} \quad \text{ no és enter} \\ a = 2 \implies \sqrt{4-2(2-4)}=\sqrt{8} \quad \text{ no és enter} \\ a = 3 \implies \sqrt{4-3(3-4)}=\sqrt{7} \quad \text{ no és enter} \\ a = 4 \implies \sqrt{4-4(4-4)}=2 \\ a = 5 \implies \sqrt{4-5(5-4)}= \sqrt{-1} \quad \text{ no és real!} \\ \end{cases} $$

Quin és llavors l'únic possible valor de $a$?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.