Abans d'anar provant a la babalà, unes observacions importants són que si comencem amb un any $2???$

$\quad i)$ Cal un $0$ o un $1$ per escriure el mes (primer dígit).

$\quad ii)$ Cal un $0$, un $1$, o un $3$ per escriure el dia (primer dígit). Notem que no pot ser un $2$ ja que surt a l'any.

Com a conseqüència, l'any no pot contenir cap $0$ ni cap $1$. És a dir, l'any més petit que podem posar és el $2345$.

L'any més petit que podem posar és el $2345$. $$ ?? / ?? / 2345 $$ Ara si provem el mes $01$ veurem que no podem posar cap dia. El següent mes que podem provar ja és el $06$ (notem que els dígits $2,3,4,5$ estan usats). $$ ?? / 06 / 2345 $$

Abans d'anar provant a la babalà, unes observacions importants són que si comencem amb un any $2???$

$\quad i)$ Cal un $0$ o un $1$ per escriure el mes (primer dígit).

$\quad ii)$ Cal un $0$, un $1$, o un $3$ per escriure el dia (primer dígit). Notem que no pot ser un $2$ ja que surt a l'any.

Vegem que, com a conseqüència, l'any no pot contenir cap $0$ ni cap $1$.

Això passa ja que per exemple, si l'any té un $1$, ens veiem obligats a posar un $0?$ al mes. Llavors el dia hauria de ser $3?$. $$ 3? / 0? / 2??? \quad \quad \text{ (on l'any té algun } 1) $$

Però aquest segon dígit només podria ser $0$ o $1$ (els mesos tenen màxim $31$ dies), per tant, contradicció perquè repetiríem dígit. El cas en què l'any té un $0$ es raona igual.

Aleshores, l'any més petit que podem posar és el $2345$, i cercarem una data amb aquest any.

Ara, si posem el mes $01$, veurem que no podem posar cap dia. Com els dígits $2,3,4,5$ ja estan usats, el següent mes que podem provar és el $06$. $$ ?? / 06 / 2345 $$

I per a aquest ja trobem un dia que funciona, el $17$. Per tant, hem trobat el proper dia en què la data tindrà tots els dígits diferents $$ \boxed{ 17/06/2345 } $$