Per trobar l'angle interior d'un polígon regular en general, primer de tot hem de veure que podem dividir el polígon en triangles iguals, unint els vèrtexs amb el centre. Raonem primer per a un heptàgon

Ara, aquí és clar que l'angle blau és $1/7$ part de l'angle central, que val $360^{\circ}$ tot, és a dir $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{7} $$

Aleshores, com el triangles dibuixats són isòsceles, els angles verds són iguals i podem veure que valen $$ 180^{\circ} = \textcolor{blue}{\angle Blau} + \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} +\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} )$$

Llavors, l'angle interior de l'heptàgon és precisament dos cops l'angle verd. En conclusió, l'angle interior de l'heptàgon val $$ \angle \text{heptàgon} = 2\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = 2 \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} ) = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7}$$

Sabries calcular ara l'angle interior d'un polígon amb $n$ costats?

Si calculem per a un polígon regular de $n$ costats, obtindrem que l'angle interior és $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{n} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} ) \quad \Longrightarrow \quad \angle n\text{-àgon} = 180^{\circ}- \frac{360^{\circ}}{n}$$

Per tant, quant val $n$?

Anem a calcular quant val l'angle interior d'un polígon regular de $n$ costats.

Primer de tot, hem de veure que podem dividir el polígon en triangles iguals, unint els vèrtexs amb el centre. Per veure-ho clar, raonem primer per a un heptàgon ($7$ costats):

Ara, aquí és clar que l'angle blau és $1/7$ part de l'angle central, que val $360^{\circ}$ tot, és a dir $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{7} $$

Aleshores, com el triangles dibuixats són isòsceles, els angles verds són iguals i podem veure que valen $$ 180^{\circ} = \textcolor{blue}{\angle Blau} + \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} +\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} )$$

Llavors, l'angle interior de l'heptàgon és precisament dos cops l'angle verd. En conclusió, l'angle interior de l'heptàgon val $$ \angle \text{heptàgon} = 2\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = 2 \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} ) = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7}$$

Si fem això per un polígon regular de $n$ costats, obtindrem que l'angle interior és $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{n} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} ) \quad \Longrightarrow \quad \angle n\text{-àgon} = 180^{\circ}- \frac{360^{\circ}}{n}$$

Si la Martina diu que l'angle interior del seu polígon regular és de $150^{\circ}$, podem aïllar $n$ com $$ 150^{\circ} = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12 $$

En conclusió, el polígon de la Martina té $\boxed{n=12 \text{ costats}}$.