Recorda les relacions de Cardano-Viète. Si $\alpha, \beta$ són les arrels de $A(x)$, aleshores

$$A(t) = (t-\alpha) (t-\beta) = t^2 -(\alpha + \beta)t + \alpha\cdot \beta \quad \implies \quad \begin{cases} -a_1 = \alpha+ \beta \\ a_0 = \alpha\cdot \beta \end{cases} $$

Notant que $A(0) = a_0 = \alpha \cdot \beta$, reescriu la condició del problema com

$$ 1 + a_1 + a_0 = \alpha \cdot \beta \quad \implies \quad 1 - (\alpha + \beta) + \alpha \cdot \beta = \alpha \cdot \beta \quad \implies \quad 1 = \alpha + \beta $$

Com podem trobar el màxim del producte de dos nombres amb suma constant? Mira el gràfic de $x\cdot(1-x)$ o usa la desigualtat entre mitjanes geomètrica i aritmètica.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.