Que el màxim comú divisor dels dos nombres sigui $20$ vol dir que els podem escriure com $$ x = 20 x' \quad \quad y = 20 y' $$

on $x'$ i $y'$ no tenen cap factor en comú.

D'altra banda, tenim que per la primera informació $$ \begin{cases} x \cdot y = 2^5 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11^2 \\ x\cdot y = 20 x' \cdot 20 y' = 2^4 \cdot 5^2 \cdot x' \cdot y' \end{cases} \implies x' \cdot y' = 2 \cdot 3^4 \cdot 7 \cdot 11^2$$

Ara bé, sabem que $x'$ i $y'$ no tenen cap factor en comú. Llavors, com repartim els factors restants entre $x'$ i $y'$?

Com que $x'$ i $y'$ no tenen cap factor en comú, per definir-los hem de repartir els factors $2,3^4,7,11^2$ a un, i només un, dels dos nombres.

Per exemple, podríem repartir-los com $$ \begin{cases} x' = 2 \cdot 3^4 \\ y' = 7 \cdot 11^2 \end{cases} \quad \quad \text{o} \quad \quad \begin{cases} x' = 1 \\ y' = 2 \cdot 3^4 \cdot 7 \cdot 11^2 \end{cases} \quad \quad \text{o} \quad \quad \begin{cases} x' = 3^4 \cdot 11^2 \\ y' = 2 \cdot 7 \end{cases} $$

De quantes maneres podem fer-ho, això de repartir $4$ factors en dos conjunts?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.