Problema del mes d'abril de 2022: 2n d'ESO

La Margalida vol iniciar una col·lecció de pedres de colors i, inicialment, en té 44 de color vermell.

En una ciutat, coneix un mercader que ofereix el canvi següent: si la Margalida li dona 11 pedra vermella, ell li donarà a canvi 33 pedres blanques.

En una segona ciutat, coneix una venedora ambulant que li ofereix un altre canvi: si la Margalida li dona 11 pedra blanca, ella li donarà a canvi 44 pedres vermelles.

La Margalida visita sovint les dues ciutats, i va fent intercanvis amb aquest mercader i aquesta venedora, fins que té 1717 pedres. Si ara multiplica la quantitat de pedres vermelles i la quantitat de pedres blanques que té, quin número obté?

Primer de tot, vegem quantes pedres guanya la Margalida en cada canvi.

En la primera ciutat, el balanç del canvi és de 3−1=+23-1= +2 pedres. D'altra banda, en la segona ciutat, el balanç del canvi és de 4−1=+34-1=+3 pedres. Per tant, fent canvis, la Margalida va guanyant pedres de 22 en 22, o bé de 33 en 33.

Com que inicialment té 44 pedres, per tal d'arribar a 1717 caldrà que sumi uns quants cops 22 i uns quants cops 33. Ara bé, si diem xx als canvis en la primera ciutat, i yy als canvis en la segona ciutat 4+3x+2y=17⟹3x+2y=13 4 + 3x + 2y = 17 \implies 3x+2y = 13

Com que x,yx,y són nombres enters, això només es pot assolir en els següents casos {x=1,y=5x=3,y=2 \begin{cases} x=1, y = 5 \\ x = 3, y = 2 \end{cases}

Vegem però en cada cas quantes pedres de cada color li quedarien. En general, si ha fet xx intercanvis a la primera ciutat i yy intercanvis a la segona, al final tindrà {4+4⋅x−1⋅yvermelles0+3⋅y−1⋅xblanques\begin{cases} 4 + 4\cdot x -1\cdot y \quad \text{vermelles} \\ 0 + 3 \cdot y - 1 \cdot x \quad \text{blanques} \end{cases}

Primer de tot, vegem quantes pedres guanya la Margalida en cada canvi.

En la primera ciutat, el balanç del canvi és de 3−1=+23-1= +2 pedres. D'altra banda, en la segona ciutat, el balanç del canvi és de 4−1=+34-1=+3 pedres. Per tant, fent canvis, la Margalida va guanyant pedres de 22 en 22, o bé de 33 en 33.

Com que inicialment té 44 pedres, per tal d'arribar a 1717 caldrà que sumi uns quants cops 22 i uns quants cops 33. Ara bé, si diem xx als canvis en la primera ciutat, i yy als canvis en la segona ciutat 4+3x+2y=17⟹3x+2y=13 4 + 3x + 2y = 17 \implies 3x+2y = 13

Com que x,yx,y són nombres enters, això només es pot assolir en els següents casos {x=1,y=5x=3,y=2 \begin{cases} x=1, y = 5 \\ x = 3, y = 2 \end{cases}

Vegem però en cada cas quantes pedres de cada color li quedarien. En general, si ha fet xx intercanvis a la primera ciutat i yy intercanvis a la segona, al final tindrà {4+4⋅x−1⋅yvermelles0+3⋅y−1⋅xblanques\begin{cases} 4 + 4\cdot x -1\cdot y \quad \text{vermelles} \\ 0 + 3 \cdot y - 1 \cdot x \quad \text{blanques} \end{cases}

Per tant, en els diferents casos x=1,y=5⟹{4+4⋅1−1⋅5=3 vermelles0+3⋅5−1⋅1=14blanques x=1, y = 5 \implies \begin{cases} 4 + 4\cdot 1 -1\cdot 5 = 3 \quad \text{ vermelles} \\ 0 + 3 \cdot 5 - 1 \cdot 1 = 14 \quad \text{blanques} \end{cases} x=3,y=2⟹{4+4⋅3−1⋅2=14vermelles0+3⋅2−1⋅3=3 blanques x=3, y = 2 \implies \begin{cases} 4 + 4\cdot 3 -1\cdot 2 = 14 \quad \text{vermelles} \\ 0 + 3 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = 3 \quad \text{ blanques} \end{cases}

És a dir, en ambdós casos acaba amb 1414 pedres d'un color i 33 pedres de l'altre color. Per tant, el producte de les dues quantitats és sempre 14⋅3=42\boxed{14\cdot3 = 42}.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
2e  m4t 05/04/2022
1e  Hypergg2000 06/04/2022
2e  MAMG 14/04/2022
1e  EloiOrigami 21/04/2022

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  arakelov 01/04/2022
Professor/a  montserrat... 01/04/2022
Curs indeterminat  Hiperboloide 01/04/2022
3e  jaquerol 01/04/2022
1b  Alexia2005 04/04/2022
Professor/a  JABorrás 06/04/2022
Curs indeterminat  fakeone 04/04/2022
Curs indeterminat  MarinaSF 08/04/2022