Problema del mes de gener de 2022: 2n d'ESO

Aquest any 20222022 tindrà 365365 dies. El Joan ha promès a la seva àvia que la trucarà cada 44 dies, començant l'11 de gener. Així mateix, la seva cosina Mar, diu que trucarà l'àvia cada 55 dies, començant el 44 de gener.

L'àvia diu que té un dia bonic si almenys un dels seus néts, el Joan o la Mar, l'han trucada. Quants dies bonics tindrà aquest 20222022?

Enumerem els dies de l'11 al 365365.

En Joan trucarà els dies 1,1+4,1+2⋅4,1+3⋅4,…,1+91⋅4=1,5,9,13,17,21,25,29,…,3651, 1+4, 1+2\cdot4, 1+3\cdot4, \ldots, 1+91\cdot 4 = 1,5, 9,13,17,21,25,29,\ldots, 365

és a dir, els que siguin un número de la forma 1+m⋅41+m\cdot4. En particular, trucarà un total de 9292 vegades.

D'altra banda, la Mar trucarà els dies 4,4+5,4+2⋅5,4+3⋅5,…,4+72⋅5=4,9,14,19,24,29,…,3644, 4+5, 4+2\cdot 5, 4+3\cdot 5, \ldots, 4+72\cdot 5= 4,9,14,19,24,29, \ldots, 364

és a dir, els que siguin un número de la forma 4+n⋅54 +n\cdot 5. En particular, trucarà un total de 7373 vegades.

Fixa't que hi ha dies on truquen tant en Joan com la Mar, per exemple 9,29,…9,29,\ldots... Quants n'hi ha d'aquests?

Per comptar els dies en que rebrà alguna trucada, hem de comptar quants cops truca el Joan, sumar-li quants cops truca la Mar, i restar-li els dies en que truquen els dos (si no, aquests els estaríem comptant doble!).

Els dies en que trucarà alhora són els números que es poden expressar tant com a 1+m⋅41+ m\cdot 4 o bé com 4+n⋅54+ n\cdot 5. Una ràpida inspecció (o bé, usant el Teorema Xinès del Residu) ens dona que aquests són els números de la forma 9+k⋅209 + k\cdot 20, és a dir, el 9,29,49,…9,29,49,\ldots Quants dies són llavors, els que truquen ambdós néts?

Enumerem els dies de l'11 al 365365.

En Joan trucarà els dies 1,1+4,1+2⋅4,1+3⋅4,…,1+91⋅4=1,5,9,13,17,21,25,29,…,3651, 1+4, 1+2\cdot4, 1+3\cdot4, \ldots, 1+91\cdot 4 = 1,5, 9,13,17,21,25,29,\ldots, 365

és a dir, els que siguin un número de la forma 1+m⋅41+m\cdot4. En particular, trucarà un total de 9292 vegades.

D'altra banda, la Mar trucarà els dies 4,4+5,4+2⋅5,4+3⋅5,…,4+72⋅5=4,9,14,19,24,29,…,3644, 4+5, 4+2\cdot 5, 4+3\cdot 5, \ldots, 4+72\cdot 5= 4,9,14,19,24,29, \ldots, 364

és a dir, els que siguin un número de la forma 4+n⋅54 +n\cdot 5. En particular, trucarà un total de 7373 vegades.

Per comptar els dies en que rebrà alguna trucada, hem de comptar quants cops truca el Joan, sumar-li quants cops truca la Mar, i restar-li els dies en que truquen els dos (si no, aquests els estaríem comptant doble!).

Els dies en que trucaran alhora els dos són els números que es poden expressar tant com a 1+m⋅41+ m\cdot 4 o bé com 4+n⋅54+ n\cdot 5. Una ràpida inspecció ens dona que aquests són els números de la forma 9+k⋅209 + k\cdot 20, és a dir, 9,9+20,9+2⋅20,…,9+17⋅20=9,29,49,…,3499, 9+20, 9 +2\cdot 20, \ldots, 9 + 17\cdot 20 = 9,29,49,\ldots, 349

En particular, hi ha 1818 dies en què trucaran els dos néts.

Per tant, tot plegat l'àvia tindrà 92+73−18=147 92 + 73 - 18= 147

un total de 147\boxed{147} dies bonics.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
1e  Hypergg2000 11/01/2022
3p  Edgar-camaleo 12/01/2022
1e  evg 12/01/2022
1e  amalia 12/01/2022
1e  Nachulus 14/01/2022
1e  oripq 12/01/2022
1e  SansUDR 12/01/2022
1e  EloiOrigami 13/01/2022
2e  scastello2... 21/01/2022
1e  sabn 12/01/2022
1e  Érika12 12/01/2022
6p  martinos 29/01/2022

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  arakelov 01/01/2022
Professor/a  JABorrás 01/01/2022
3e  jaquerol 02/01/2022
Universitat  Guillem_dlc 10/01/2022
3e  itziar 10/01/2022
Curs indeterminat  tremar 12/01/2022
Curs indeterminat  jaiopti99 19/01/2022
Universitat  Oriol47 26/01/2022
Professor/a  montserrat... 26/01/2022
Curs indeterminat  Francesca2 01/01/2022
Professor/a  Monroe 02/01/2022
Curs indeterminat  fakeone 11/01/2022
1b  Alexia2005 23/01/2022
3e  irene.narvaez 10/01/2022
3e  joan.montavez 20/01/2022