Problema del mes de gener de 2022: 4t d'ESO

El 20222022 és un número especial, compleix que cada un dels seus dígits es pot expressar com la resta de dos altres dígits del nombre. En efecte,

{2=200=22\begin{cases} 2 = 2 - 0 \\ 0 = 2 - 2 \end{cases}

Altres exemples de nombres especials són: 330,1001,330, 1001, \ldots Quin serà el proper any, sense comptar 20222022, que tornarà a ser un número especial?.

Cas 1

Si l'any comencés amb 20ab20ab, per tal de poder expressar 00 com a diferència de dues xifres, caldrà que tinguem a=ba=b per fer 0=ab0 = a-b, o que algun de a,ba,b sigui 22.

Cas 1.1

En el cas que el nombre sigui 20aa20aa, aleshores ens cal que 2=a02 = a- 0, però ens trobem amb el nombre 20222022, que ja és el que teníem d'inici.

Cas 1.2

Si tenim a=2a=2, llavors el nombre hauria de ser 202b202b, però aleshores cal b=20=2b= 2-0=2 o b=22=0b=2-2=0, contradicció, ja que cerquem un any després de 20222022.

Cas 1.3

Si tenim b=2b=2, llavors el nombre hauria de ser 20a220a2, però aleshores cal a=20=2a= 2-0=2 o a=22=0a=2-2=0, contradicció, ja que cerquem un any després de 20222022.

En un segon cas, per a un any 21ab21ab.

Cas 2

Si l'any comencés amb 21ab21ab, tenim diferents subcasos segons com expressem 22 com a resta d'altres dígits.

Cas 2.1

Si a1=2a-1=2, aleshores a=3a=3, però ens caldrà b2=3b-2=3, és a dir, b=5b=5. Però no podem expressar 55 com a diferència de dues xifres, contradicció. Si b1=2b-1=2, la situació és anàloga.

Cas 2.2

Si ab=2a-b=2, aleshores aa serà el valor més gran d'entre els dígits. Si a>2a > 2 en particular no el podrem expressar com a resta d'altres dígits, més petits. Altrament, si a=2a=2, caldrà b=0b=0 però aleshores no podem expressar 11 com a resta d'altres dígits. El cas ba=2b-a=2 és anàleg.

\quad

Què passa si passem als anys 22ab22ab?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.

Classificació 4t d'ESO
Estudiants que cursen 4t d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
3e  jaquerol 02/01/2022
4e  GerardPS 27/01/2022
1e  Hypergg2000 11/01/2022
6p  martinos 29/01/2022

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 4t d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  arakelov 01/01/2022
Professor/a  JABorrás 01/01/2022
1b  arnau2 12/01/2022
Universitat  Oriol47 26/01/2022
Professor/a  montserrat... 27/01/2022
Curs indeterminat  Hiperboloide 02/01/2022
Universitat  Guillem_dlc 17/01/2022
1b  Alexia2005 31/01/2022
Curs indeterminat  MarinaSF 31/01/2022
Curs indeterminat  Francesca2 01/01/2022
Professor/a  Monroe 01/01/2022
Universitat  izanbf 05/01/2022
Curs indeterminat  fakeone 11/01/2022