Primer de tot, nota que el resultat sempre serà un múltiple de $11$, entre $11$ i $198$

Si prenem un nombre inicial qualsevol $\overline{ab}$. Aleshores el resultat serà $\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11(a+b)$, que és un múltiple de $11$.

I el mínim i el màxim venen de considerar els resultats per a $10$ i per a $99$, que són els valors inicials extrems.

D'altra banda, si prenem un número múltiple de $11$ que estigui entre $11=11\cdot 1$ i $198 = 11 \cdot 18$ sempre podem trobar un nombre original que ens donaria aquest resultat.

En efecte, si tenim que el resultat és $11\cdot n$, amb $n$ entre $1$ i $18$, aleshores, podem descompondre $n$ en una suma de dos dígits $a,b$:

$$ \begin{cases} n = 1 = 0 + 1 \\ n = 2 = 1+1 \\ n =3 = 1+2 \\ \quad \quad \vdots \\ n=17 = 8+9 \\ n = 18 = 9+9 \end{cases} $$

O de forma més concisa, prenent $a = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ i $b = \lceil \frac{n}{2} \rceil$. I llavors, prendre $\overline{ab}$ com a nombre inicial.

Vegem que els possibles resultats són exactament els múltiples de $11$ entre els números $11$ i $198$.

Primer, en una direcció prenem un nombre inicial qualsevol $\overline{ab}$. Aleshores el resultat serà $\overline{ab}+\overline{ba}=10a+b+10b+a=11(a+b)$, que és un múltiple de $11$. El mínim i el màxim venen de considerar els resultats per a $10$ i per a $99$, que són els valors inicials extrems.

D'altra banda, si prenem un número múltiple de $11$ que estigui entre $11=11\cdot 1$ i $198 = 11 \cdot 18$ sempre podem trobar un nombre original que ens donaria aquest resultat. En efecte, si tenim que el resultat és $11\cdot n$, amb $n$ entre $1$ i $18$, aleshores, podem descompondre $n$ en una suma de dos dígits $a,b$:

$$ \begin{cases} n = 1 = 0 + 1 \\ n = 2 = 1+1 \\ n =3 = 1+2 \\ \quad \quad \vdots \\ n=17 = 8+9 \\ n = 18 = 9+9 \end{cases} $$

O de forma més concisa, prenent $a = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ i $b = \lceil \frac{n}{2} \rceil$ i llavors prendre $\overline{ab}$ com a nombre inicial.

Tot plegat, com que els resultats són els múltiples d'$11$ que estan entre el mínim $11=11 \cdot \color{red}{1}$ i el màxim $198 = 11\cdot \color{red}{18}$, podem comptar que en són un total de $\boxed{18 \text{ resultats possibles}}$.