Primer de tot, nota que la suma de dígits dona el mateix residu mòdul $9$ original. Concretament, com $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \mod 9$, que totes les potències de $10$ donen residu $1$ en dividir-se per $9$. Per tant,

$$ N = \overline{a_n a_{n-1} \ldots a_1a_0} = a_n \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \equiv a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1 + a_0 \mod 9$$

En particular, com l'arrel radical consisteix en iterar la suma de dígits fins arribar a un sol dígit, què és l'arrel radical?

En particular, iterant la suma de dígits tenim que $N \equiv ar(N) \mod 9$. Com que a més és un sol dígit, l'arrel radical és precisament el residu que $N$ deixa en dividir-lo per $9$.

Amb això en ment, és clar que l'arrel radical és multiplicativa en el següent sentit $$ ar(M\cdot N) = ar( ar(M) \cdot ar(N) )$$

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.