Utilitzeu el triangle vermell.

Adoneu-vos que el triangle vermell té costats $60-r,60-r,2r$ i angles $60^{\circ} ,60^{\circ} ,60^{\circ}$. Què hi podeu deduïr?

Sigui $r$ el radi de les circunferències petites. Considerem el centre del cercle gran i els centres de dues circumferències petites consecutives. El triangle format per aquests tres centres és isòsceles, perquè la distància entre el centre del gran i els centres de les petites és $60-r$. A més l’angle central és de $60^{\circ}$, perquè 6 cops aquest angle dona el total. Per tant, el triangle és equilàter.

Com que la distància entre els dos centres de les circumferències petites és $2r$, tenim: $$ 60-r = 2r \Rightarrow 3r = 60 \Rightarrow r = 20$$

I ja tenim la resposta: $r = \boxed{20}$.