Sembla que els polígons de nombre senar de costats són molt diferents als de nombre parell de costats. En el senars no hi ha cap cometa i en els parells és fàcil calcular la quantitat de cometes que tenen una diagonal particular, és la quantitat de vèrtexs entre els dos extrems (anant pel camí més curt).

Els polígons de nombre senar de costats no donen cap cometa i en els polígons de nombre parell de costats podem trobar una fórmula general pel nombre de cometes en que participa un vèrtex qualsevol.

Sigui $n=2k$ el nombre de costats del polígon. Fixem un vèrtex $A$ i calculem la quantitat de cometes que tenen a $A$. Separant per casos en funció de quin sigui el vèrtex oposat, obtenim la quantitat $1+2+\cdots+(k-1)+1+2+\cdots+(k-2) = (k-1)^2$

Ara només ens falta fer la suma de la quantitat de cometes en que està cada vèrtex i dividir entre el nombre de vèrtexs que té cada cometa.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.