Si vas amb cura, es pot demostrar que si tens un número resistent a nous i li sumes $900$, el resultat és el mateix número amb les dues primeres xifres intercanviades. Si li sumes $90$ obtens el mateix número amb les xifres $2$ i $3$ intercanviades...

Raonant amb el que t'hem dit a la primera pista, es pot veure que la segona xifra ha de ser la primera més $1$, la tercera la segona més $1$ i la quarta la tercera més $1$. Quin seria aleshores el número de quatre xifres més petit amb aquesta propietat?

Anem a veure que la resposta és $\boxed{1234}$. És fàcil comprovar a mà que aquest número és resistent a nous (les sumes donen $1243,1324,2134$. Ara veurem que és el més petit amb aquesta propietat.

Escribirem els dígits d'aquest hipotètic nombre resistent a nous com $\overline{abcd}$, on $a,b,c,d$ són els dígits del nombre. Per exemple, el nombre $3407$ té dígits $a=3,b=4,c=0,d=7$. Observeu que perquè $\overline{abcd}$ sigui de $4$ dígits, cal que $a$ no sigui $0$.

Anem a estudiar els dígits de dalt cap avall, tot i que es podria fer al revés.

Quan li sumem $900$ a $\overline{abcd}$, els dos últims dígits no canvien. Aleshores els dos primers dígits de la suma han de ser $a$ i $b$

Si $b=0$, només canvia un dígit, de $0$ a $9$, per tant els dígits deixarien de ser els mateixos i aixó no pot ser. En qualsevol altre cas, al fer la suma ens "portem una". És a dir, que el dígit $a$ passa a ser $a+1$.

En el cas en que $a=9$, la suma dona un número de $5$ xifres, cosa que no és possible perquè si les xifres de $\overline{abcd}$ i $\overline{abcd}+900$ són les mateixes, el nombre total de xifres també deu ser el mateix.

Una vegada descartades les possibilitats $b=0$, i $a=9$, $\overline{abcd}+900 = \overline{(a+1)(b-1)cd}$ (això no és un producte, vol dir que el primer dígit és $a+1$, el segon $b-1$, el tercer $c$ i l'últim $d$). Com que els dígits són els mateixos, el nou valor de $a$ deu ser $b$, és a dir $b=a+1$.

Ara raonem de la mateixa manera amb $\overline{abcd}+90$. Sabem que l'última xifra no pot canviar. Suposem ara que canvia la primera xifra. Això voldria dir que $\overline{bc}+9\geq 100$. Aleshores, $99\geq \overline{bc}\geq 91$. L'important d'això és que ni $b$ ni $c$ poden ser $0$. El problema és que aleshores el segon dígit de $\overline{abcd}+90$ seria $0$, però ni $a$ ni $b$ ni $c$ poden ser $0$.

En conclusió, les úniques xifres que canvien són $b$ i $c$. O sigui que tenim la mateixa situació que abans, de nou augmenta $1$ una xifra i l'altra disminueix $1$: $\overline{abcd}+90=\overline{a(b+1)(c-1)d}$. Per tant, podem concloure que $c = b+1$.

Pel mateix raonament, $\overline{abcd}+9=\overline{ab(c+1)(d-1)}$ o sigui que $d=c+1$.

O sigui que els números resistents de quatre xifres són de la forma $\overline{a(a+1)(a+2)(a+3)}$. I el més petit és el que obtenim amb el valor de $a$ més petit. És a dir, és $\overline{1(1+1)(1+2)(1+3)}=\boxed{1234}$.