Problema del mes d'abril de 2023: 2n d'ESO

Considerem un quadrat $3\times 3$. Cadascuna de les caselles del quadrat té una bombeta, que pot estar apagada o encesa. A més cada casella (de la vora) té un botó, i quan pressionem el botó, la casella on està i les caselles amb les que comparteix un costat canvien d'estat (s'encenen si estaven apagades i s'apaguen si estaven enceses).

Prement aquests botons en algun ordre, quin és el màxim de bombetes que podem encendre a la vegada?

Intenta prémer els botons de manera simètrica. Què passa si pressiones els de totes les cantonades? O de tots els punts mitjos dels costats?

Prova a pressionar tots els botons de la vora.

Creus que hi alguna manera millor? Pensa que entre les caselles que no són cantonades sempre hi ha una quantitat parella de caselles enceses.

Si pressionem tots els botons, les caselles de la vora haurien canviat d'estat $3$ cops cadascuna (una per la pròpia casella, i dues per les dues veïnes de la vora) així que acabarien totes enceses. Però la del centre hauria canviar $4$ cops i estaria apagada. Així encendríem $8$ caselles a la vegada.

Per un altre costat, adoneu-vos que la creu de $5$ caselles formada pel centre i els punts mitjos dels costats sempre tindrà un nombre parell de caselles enceses. Si pressionem el botó de la cantonada, canviarem l'estat de dos dels punts mitjos dels costats; i si encenem una de les caselles d'un punt mig d'un costat, estarem canviant l'estat d'aquesta casella i la del mig. Com que canvia l'estat de dues caselles (de la creu), potser que s'encenen dues, s'apaguen dues o s'encén una i s'apaga un altra. En qualsevol cas no canvia la paritat de les caselles de la creu enceses. Així que mai podrem encendre les $5$ caselles de la creu a la vegada.

En conclusió, el màxim de caselles que podem encendre a la vegada és $\boxed{8}$.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
4p  Edgar-camaleo 01/04/2023
2e  Hypergg2000 07/04/2023
1e  11177082 18/04/2023
2e  Nachulus 19/04/2023
1e  martinos 30/04/2023
1e  clagut 19/04/2023
1e  Ainhoa 19/04/2023
1e  carmenflores 19/04/2023
2e  oripq 19/04/2023
2e  Hugotarugo 19/04/2023

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  JABorrás 01/04/2023
Universitat  Oriol47 03/04/2023
Curs indeterminat  mellamanhy 19/04/2023
4e  jaquerol 28/04/2023
Professor/a  SoniaPC 02/04/2023
Professor/a  montserrat... 12/04/2023
Curs indeterminat  Hiperboloide 23/04/2023
1b  N_dri 25/04/2023
Curs indeterminat  fakeone 07/04/2023