$100$ en base 4 val $16$, molt menys que en base 10, on val $100$.

De fet, el màxim que pot valer un número de tres dígits en base 4 és $3\cdot 16+3\cdot 4+ 3\cdot 1 = 63$, així que mai hi haurà un número que tingui tres dígits en base 4 i a la vegada tres dígits en base $10$. Això passa també per números que tenen $4,5,6\ldots$ dígits en base 4.

Així que els únics números $4$-simètrics són de $1$ o $2$ dígits en base $10$.

Els números $4$-simètrics d'un dígit són $1$,$2$,$3$. I només hi ha un número $4$-simétric de dos dígits. Aquest número (en base 10) comença per $1$. Només et falta trobar quin és.

Els únics números $4$-simètrics són: $1,2,3,13$ (en base 10). I la seva suma és $\boxed{19}$.

Primer descartem els números majors que $100$, aquests números tenen al menys tres dígits en base 10. I si un d'aquests fos $4$-simétric, tindria la mateixa quantitat de dígits en base 10 que en base 4. Però, el número més gran que es pot escriure amb tres dígits en base $4$ seria el $333$ (base 4) que representa $3\cdot 16+3\cdot 4+ 3\cdot 1 = 63$, així que mai hi haurà un número que tingui tres dígits en base 4 i tres dígits en base 10. El mateix passa per $4$ o més dígits. De manera que només hi ha números $4$-simétrics que tinguin $1$ o $2$ dígits.

Els números de $1$ dígit menors o iguals a $3$ són tots $4$-simètrics: $1,2,3$.

Suposem ara que tenim un número de dos dígits (base 10) que és $4$-simètric. Suposem que té digits $x,y$. Aleshores, com que s'escriu $xy$ en base 10, el número val $10x+y$. Com que és $4$-simètric, s'esciu $yx$ en base 4. Per tant, val $4y+x$. Així que tenim l'equació: $$10x+y = 4y+x \implies 9x = 3y \implies 3x = y $$

Si $x=1$, trobem el número $13$ (base 10), que és $4$-simètric, però si $x=2$ o més gran, $y=6$ o més gran. Però cal que els dígits siguin menors o iguals a $3$, així que l'únic $4$-simètric de dos dígits és $13$.

Ara que els hem trobat, en calculem la suma: $13+1+2+3 = \boxed{19}$.