Un rei es mou per un tauler 5x5 amb patró de tauler d'escacs, començant en la cantonada inferior esquerra. En cada passa pot moure's una casella cap a dalt, una casella cap a la dreta o en diagonal cap a la casella que comparteix l'esquina superior dreta. Depenent de la sucessió de passes escollides, el rei en $1$ passa pot acabar en qualsevol d'aquestes caselles:
En $2$ passes pot acabar en una d'aquestes:
En $3$ passes pot acabar en una d'aquestes:
I en $4$ passes pot acabar en una d'aquestes:
Observeu que les caselles on pot estar al cap d'un nombre de passes formen una mena de triangle rectangle, que té una vora amb tres costats, un horitzontal, un vertical i un diagonal.
El rei fa 4 passes en total. Suposant que cada pas que fa el rei l'escull entre les tres possibilitats amb probabilitat uniforme (igual per totes les possibilitats), sigui $p/q$ la probabilitat de que el rei es mantingui en la vora dels triangles en tot el seu recorregut. És a dir, que després de la primera passa estigui en la vora del triangle de la primera imatge, després de la segona esitgui en la vora del triangle de la segona imatge...
Si simplifiques la fracció $p/q$, quina és la suma del numerador i el denominador?
Quina mena de camí faria que en cada passa el rei estigui en la hipotenusa del triangle vermell de les caselles possibles? I per tal que el rei sempre estigui en el catet superior? Observem per exemple que si el rei fa: DRETA, DALT, DIAGONAL, passa a estar en l'interior del triangle de les possibles caselles en $3$ passes, així que aquesta combinació no pot ser.
L'única manera de fer un camí com el que demana l'enunciat és que totes les passes siguin només en dues de les tres direccions. Podries comptar la quantitat de camins que només usen passes en les direccions DALT, DRETA? Serà la mateixa que la quantitat de camins que només usen passes en direcció DRETA, DIAGONAL. I el mateix per DALT, DIAGONAL. Amb aquestes quantitas ja pots calcular la probabilitat (cura amb els camins que tinguin totes les passes en la mateixa direcció!).
Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.
Classificació 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat
o un curs inferior.
| Medalla | # | Usuari | Data |
|---|
Classificació oberta
Usuaris que ja han superat
2n de Batxillerat.
| Medalla | # | Usuari | Data | |
|---|---|---|---|---|
| Or | Oriol47 | Oriol47 | 1 de gener de 2023 a les 22:07 | 01/01/2023 |