Considereu un cas més petit. Què passa si substituïm $2023$ per $3$ i $4$? I $7$ i $8$?

Us deixo la successió dels valors de la resposta si canviem la suma donada per $1/1+\cdots + 1/n$.

Pels valors de $n$:..............................$1$,$2$,$3$,$4$,$5$,$6$,$7$,$8$,$9$...

tenim les següents potències:......$1$,$2$,$2$,$4$,$4$,$4$,$4$,$8$,$8$...

Trobeu un patró?

La resposta correcta és $1024$, la potència de $2$ més gran menor que $2023$, que per tant és la més gran que apareix com denominador de una de les fraccions de la suma. Demostrem-ho.

Si considerem el mínim comú múltiple de $1,2,3,4,5,\ldots,2023$ i l'anomenem $m$, podem escriure la suma com $x/m$. Multiplicant la suma per $m$ tenim: $$ x = m+\frac{m}{2}+\frac{m}{3}+\ldots+\frac{m}{1024}+\ldots+\frac{m}{2023}$$

Sabem que $m$ és múltiple de $1024$ i com que cap número entre $1$ i $2023$ és múltiple de $2\cdot 1024$, $1024$ és la potència de $2$ més gran que divideix $m$. A més, totes les fraccions $m/k$, on $k\neq 1024,k\leq 2023$, són parelles, perquè el numerador sempre té més factors de $2$ que el denominador. És a dir: $$ x = m+\frac{m}{2}+\ldots+\frac{m}{1024}+\ldots+\frac{m}{2023} = \textrm{PARELL}+\textrm{PARELL}+\ldots+\textrm{SENAR}+\ldots+\textrm{PARELL} = \textrm{SENAR} $$

Aleshores tenim que $x$ és senar. I ja quasi està: $x/m$ no necessàriament està simplificada, però si dividim entre el màxim comú divisor de $x$ i $m$ arribem a $x'/m'$, que sí està simplificada. Com que el màxim comú divisor és senar, $m'$ encara serà múltiple de $1024$ i no de cap altra potència de $2$.

En conclusió, la resposta és $\boxed{1024}$.