Siguin $a,b,c$ enters positius tals que $2^a+2^b=c^2$. Quins són els valors possibles de $a-b$?
(Responeu amb els valors ordenats de menor a major, separats per comes, sense espais)
Com que $a=b=1$ dona una solució vàlida, investiguem només el cas $a\neq b$. I només estudiem en el cas $a>b$, l'altre és igual canviant l'$a$ per la $b$. Treiem factor comú a l'esquerra $2^b$. Aleshores: $$2^b(2^{a-b}+1)=c^2$$
Com que l'esquerra és un quadrat perfecte, cal que el seu nombre de factors de $2$ sigui parell. Per tant cal que $b$ sigui parell i cal que $2^b$ sigui un quadrat perfecte. Així que és necessari que $2^{a-b}+1$ sigui un quadrat perfecte. Quan passa això?
Com hem dit en la pista $1$, per algun $x$ enter positiu, $2^{a-b}+1=x^2$. Passem l'$1$ a la dreta i factoritzem: $$2^{a-b} = (x+1)(x-1) $$
Ara, adonem-nos que $x-1,x+1$ són dos potències de $2$ amb diferència $2$. Això només ens deixa una possibilitat de $x$... A quin valor de $a-b$ correspon?
Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.
Classificació 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat
o un curs inferior.
Medalla | # | Usuari | Data |
---|
Classificació oberta
Usuaris que ja han superat
2n de Batxillerat.
Medalla | # | Usuari | Data | |
---|---|---|---|---|
Or | arakelov | arakelov | 1 de juny de 2023 a les 11:56 | 01/06/2023 |
Or | JABorrás | JABorrás | 3 de juny de 2023 a les 16:32 | 03/06/2023 |
Plata | Oriol47 | Oriol47 | 11 de juny de 2023 a les 10:08 | 11/06/2023 |