Qualsevol nombre capicua es pot escriure en la forma $abccba$, on $a,b,c$ són els dígits i es troben entre $0$ i $9$ (amb la condició $a\neq 0$). Observeu que una altra manera d'escriure-ho és $100001\cdot a+10010\cdot b + 1100\cdot c$. Intenta eliminar tots els múltiples de $13$ que puguis d'aquest número, per trobar una altra expressió amb la que sigui més fàcil comprovar si és múltiple de $13$ o no.

Si feu la divisió veureu que el residu en dividir $100001$ entre $13$ és $5$, el residu de dividir $10010$ entre $13$ és $0$ i el residu en dividir $1100$ entre $13$ és $8$. Per tant, un número capicua de $6$ xifres es pot escriure com: $$ (13k_1+5)\cdot a+(13k_2)\cdot b + (13k_3+8)\cdot c = 13k_4+5a+8c $$

On $k_1,k_2,k_3,k_4$ són enters positius. L'important és que aquest número serà múltiple de $13$ si i només si $5a+8c$ és múltiple de $13$. Aleshores, compteu quants números $abccba$ hi ha tals que $5a+8c$ sigui múltiple de $13$.

Qualsevol nombre capicua es pot escriure en la forma $abccba$, on $a,b,c$ són els dígits i es troben entre $1$ i $9$ (amb la condició $a\neq 0$). Una altra manera d'escriure-ho és $100001\cdot a+10010\cdot b + 1100\cdot c$. Si fem la divisió entre $13$ veiem que el residu en dividir $100001$ entre $13$ és $5$, el residu de dividir $10010$ entre $13$ és $0$ i el residu en dividir $1100$ entre $13$ és $8$. Per tant, un número $abccba$ es pot escriure com: $$ (13k_1+5)\cdot a+(13k_2)\cdot b + (13k_3+8)\cdot c = 13k_4+5a+8c $$

On $k_1,k_2,k_3,k_4$ són enters positius. L'important és que aquest número serà múltiple de $13$ si i només si $5a+8c$ és múltiple de $13$. Però observeu que si $a=c$, $5a+8c=13a$ és múltiple de $13$. Del contrari, $5a+8c=13a+8(c-a)$, que és múltiple de $13$ si i només $c-a$ és múltiple de $13$. Però, com que $c-a$ agafa valors entre $-9$ i $9$, no és múltiple de $13$ quan $a\neq c$.

En conclusió, el número serà múltiple de $13$ si i només si $a=c$. Aleshores tots els capicues de $6$ dígits múltiples de $13$ estan determinats pel primer i segon dígit. Com que el primer pot agafar qualsevol valor entre $1$ i $9$ i el segon cap entre $0$ i $9$, el total de possibilitats és $\boxed{90}$.