Si dos llibres tenen la mateixa probabilitat, la millor manera d'ordenar-los és posar el més lleuger a dalt; i si dos llibres tenen el mateix pes, lo millor és posar el més probable a dalt. Però per ordenar els llibres d'en Pere no basta amb aquesta observació.

Per trobar el criteri general intenteu trobar la millor manera d'ordenar només dos llibres: un amb probabilitat $p_1$ i pes $w_1$, l'altre amb probabilitat $p_2$ i pes $w_2$.

I fixeu-vos en el cas d'igualtat! Quan dona igual quin llibre posar a dalt?

Si tenim dos llibres amb probabilitats i pesos $p_1,w_1$ i $p_2,w_2$ respectivament, posant el primer a dalt obtenim una esperança de $E_1=p_1w_1+p_2w_1+p_2w_2$. Mentre que si posem el segon a dalt l'esperança és $E_2=p_2w_2+p_1w_2+p_1w_1$. Restant els termes comuns dels dos costats obtenim: $$ E_1 \leq E_2 \iff p_2w_1 \leq p_1w_2 $$

Però aquesta expressió es pot escriure d'una manera més iluminadora: $$ p_2w_1 \leq p_1w_2 \iff \frac{w_1}{p_1} \leq \frac{w_2}{p_2} $$

De manera que hauríem de posar a dalt el llibre $1$ si i només si té la proporció pes-probabilitat més petita que el llibre $2$. Fent el mateix raonament quan hi ha més llibres trobem que quan els llibres estiguin ordenats de la millor manera, cada llibre tindrà el valor de $w_i/p_i$ més gran o igual al que té a sota. De fet aquesta condició és suficient, ja que raonant com abans es pot veure que totes les configuracions que satisfan aquesta condició tenen la mateixa esperança.

Ara que ja saps quin criteri seguir per ordenar els llibres, de quantes maneres ho pots fer per tal que es compleixi la condició?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.