Problema del mes de novembre de 2023: 2n de Batxillerat

Jordi té una col·leció de monedes d'1 o 2 €. Algunes van ser impreses en Espanya i altres en Alemanya. Las ha comptat molts cops i et pot dir amb seguretat que:

  1. El valor total de les monedes d'Espanya és 37€.
  2. Hi ha 3 monedes d'1€ més que espanyoles de 2€.
  3. Hi ha tantes monedes de 2€ com monedes espanyoles d'1€.

Sabent aixó, quin nombre de monedes de 2€ espanyoles té Jordi?

Denotem les monedes per UE,UA,DE,DAUE,UA,DE,DA segons valguin Un euro o Dos euros i vinguin d'Espanya o d'Alemanya. Les equacions de l'enunciat aleshores queden: UE+2DE=37,UE+UA=DE+3,DE+DA=UE UE+2DE = 37, UE+UA = DE+3, DE+DA = UE

La segona i tercera equacions intuitivament ens diuen que el nombre UEUE i DEDE són semblants. Per veure-ho clarament les reescribim com: UE−DE=3−UA=3,2,1,0,...UE-DE = 3-UA = 3,2,1,0,... i UE−DE=DA=0,1,2,3,...UE-DE = DA = 0,1,2,3,.... Per tal que les dues equacions siguin certes a la vegada, cal que UE−DE=0,1,2,3UE-DE = 0,1,2,3. Deuries poder veure que només un d'aquests possibles valors de la diferència funciona.

Com que 2DE+UE−12DE+UE-1 és múltiple de 33, i 2DE+UE−1=UE−UD−1+3UD2DE+UE-1 = UE-UD-1 +3UD, cal que UE−UDUE-UD sigui 1(mod3)1 (\text{mod} 3). Però aleshores l'única solució possible seria UE−DE=1UE-DE = 1, que ens porta a UE+2DE−(UE−DE)=36UE+2DE-(UE-DE) = 36 i resolent podem trobar el valor de DEDE.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.

Classificació 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat o un curs inferior.

# Usuari Data
1b  Pol_Riera_... 13/11/2023
1b  carlos_paz 15/11/2023
3e  Nachulus 22/11/2023
2e  clagut 22/11/2023

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n de Batxillerat.

# Usuari Data
Universitat  Superep 15/11/2023
Curs indeterminat  Panyu 20/11/2023
Curs indeterminat  Polillo 22/11/2023
Professor/a  RamonCanet 06/11/2023