Sabem que el número és la diferència entre un número $\overline{abcd}$ (xifres $a,b,c,d$) i el número al revés $\overline{dcba}$. Peró si $b$ i $c$ són menors que $9$, podríem sumar-li $1$ a les dues xifres i la diferència seria la mateixa: $$ \overline{abcd}-\overline{dcba} = \overline{a(b+1)(c+1)d}-\overline{d(c+1)(b+1)a} $$

Aleshores cal que un dels dos ($b$ o $c$) sigui igual a $9$. També pots intentar restar $1$ a les dues xifres, que fa que la diferència es mantingui igual. De nou, per evitar que això sigui possible, cal que una de les dues xifres sigui $0$. Una cosa molt semblant passa amb les xifres $a$ i $d$.

Amb aquesta informació deuries poder deduir els dos possibles valors de $\overbar{abcd}$, i per tant els números dels que parlaven Manel i Laura.

Com insinuàvem en la pista $1$, cal que els dígits $a$ i $d$ siguin $a=1,d=9$ o $a=9,d=0$. Com que volem que la resta sigui positiva, cal que $a=9$ i $d=0$. A més, els dígits $b$ i $c$ cal que siguin $0$ i $9$. Així que les dues possibilitats són: $$ \overline{abcd} = 9900 \text{ o bé } \overline{abcd} = 9090 $$ I les diferències corresponents són: $9900-0099 = 9801$ o bé $9090-0909=8181$.

Sigui $x$ un número amb la propietat que diu Laura. Aleshores sabem que existeix només una llista de quatre dígits $a,b,c,d$ de manera que: $$ x = \overline{abcd}-\overline{dcba} $$ Si $a$ i $d$ són menors que $9$, podem afegir-li $1$ a les dues, de manera que la resta és la mateixa. $$ \overline{abcd}-\overline{dcba} = \overline{(a+1)bc(d+1)}-\overline{(d+1)cb(a+1)} $$

Aleshores cal que una de les dues sigui $9$. El mateix passa si $a>1$ i $d>0$. Aleshores podem restar-li $1$ a les dues i de nou la resta es manté constant. Això implica que o bé $a=1$ o $d=0$. Si $d=9$, cal que $a=1$, però aleshores la resta és negativa. Per tant, la possibilitat restant és que $a=9$ i $d=0$.

Anàlogament, si $b$ i $c$ són menors que $9$, podem suma'ls hi $1$ als dos, i són majors que $0$, podem resta'ls hi $1$. Per tant, els números dels que parla Manel cal que tinguin $b=9,c=0$ o $b=0,c=9$.

En conclusió, els únics números possibles són $9900-0099=9801$ i $9090-0909=8181$. Per tant, el número del que parlava inicialment Laura deu ser el $\boxed{8181}$.

Encara queda una cosa per justificar, tot i que no cal per resoldre el problema. Realment estem segurs de que $9801$ i $8181$ només es poden escriure d'una manera com resta d'$n$ i $n$ al revés?

Per aquest fi, suposem que $x = \overline{abcd}-\overline{dcba} = 999(a-d)+90(b-c)$. Aleshores $-9\leq a-d,b-c \leq 9$. Suposem a més que $x$ es pot escriure com $x= \overline{a'b'c'd'}-\overline{d'c'b'a'} = 999(a'-d')+90(b'-c')$. Per comoditat, siguin $e=a-d,e'=a'-d',f=b-c,f'=b'-c'$. Aleshores: $999e+90f=999e'+90f'$. Per tant, $999(f-f')=90(e'-e)$. Com que $e,e'$ está entre $-9$ i $9$, cal que $e-e'$ estigui entre $-18$ i $18$. En conclusió, $90(e-e')$ estarà entre $-1620$ i $1620$. En aquest rang els únics valors possibles de $999(f-f')$ són $-999,0,999$. Però, $-999,999$ no són possibles, així que cal que $999(f-f')=0$. És a dir, $f=f'$ i per tant $e=e'$.

En resum, si $x$ s'escriu de dues maneres diferents com resta de $n$ i $n$ al revés, $a-d$ i $b-c$ cal que siguin sempre iguals. Però, si $a-d$ i $b-c$ són $9$, necessàriament cal que el número del terme que suma sigui $9$ i l'altre sigui $0$. Anàlogament, si $a-d$ i $b-c$ són $-9$, el terme que suma serà $0$ i l'altre serà $9$. I de fet, això és el que passa en $\overline{abcd}=9900$: $a-d=9,b-c=9$ i $\overline{abcd}=9090$: $a-d=9,b-c=-9$. Pel que hem dit abans, concloem que $9801,8181$ només es poden escriure d'una manera com resta d'$n$ i $n$ al revés.