Si tracem tots els segments des d'un punt P fins als vèrtexos, es formen $6$ triangles. Ens fixem en un costat de l'hexàgon, el seu triangle associat i els dos angles de la base.

Per tal que aquests dos siguin menors que $90$º, cal que el punt P estigui entre les perpendiculars al costat que passen pels extrems del costat.

La intersecció d'aquestes regions per cada costat és el conjunt S del que volem trobar l'àrea.

Ara queda que trobis l'àrea d'aquesta regió S, que resulta ser un hexàgon. Intenta trobar el costat o el radi i calcula-hi l'àrea.

Es pot relacionar l'apotema de l'hexàgon original amb el radi del hexàgon S. Considerem el centre $C$ de l'hexàgon. Considerem un costat, els seus extrems $A$,$B$, el punt mig $J$ i el punt $I$, un vèrtex de l'hexàgon S, tots com en la figura.

Llavors, siqui $l$ la llargada del costat de l'hexàgon original. $ABC$ és un triangle equilàter, així que fent una mica de trigonometria treiem que la seva altura és $l\sqrt{3}/2$. Per calcular $IJ$ ens fixem en que $AIJ$ és un triangle rectangle d'angles $30,60,90$º. Per tant, com que $AJ= l/2$, multiplicant per la tangent de $30$º, tenim que $IJ=l/2\sqrt{3}$. Per tant, $CI=CJ-IJ=l\sqrt{3}/3$.

Si el radi és aquest, quina és l'àrea de l'hexàgon S? Recorda que l'àrea de l'hexàgon original era $1$.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.