Tens dues gerres, una amb volum de $7$ L i una altra amb volum de $10$ L. Pots fer tres accions amb aquestes gerres:
1. Buidar una gerra.
2. Omplir una gerra.
3. Abocar aigua d'una gerra a l'altra, fins que una gerra s'ompli o l'altra es buidi.
Comencem amb les dues gerres buides. Quantes parelles $(a, b)$ d'enters positius (o zero) hi ha tal que podem arribar a tenir $a$ L en la gerra de $7$ L i $b$ L en la de $10$ L, fent servir les accions 1, 2 i 3?
Després de qualsevol de les accions alguna de les gerres queda buida o alguna queda plena. Ara, són possibles totes les configuracions que tinguin $a=0, a=7, b=0$ o $b=10$?
Una estratègia elemental consisteix en omplir la gerra de $10$ i treure-li $7$ amb la de $7$ L. Llavors arribem a la configuració $(3,0)$. Després podem moure el que queda ($3$ L) a l'altra i aplicar l'acció $3$, de manera que passem a tenir $(6,7)$. De manera que hem aillat $6$ L en una gerra. Si tornem a buidar la de $7$ i aboquem el contingut de la de $10$ a la de $7$ arribarem a $(0,6)$. Si ara omplim la de $10$ i apliquem l'acció $3$ arribem a $(9,0)$, que si fem tornem a aplicar l'acció 3, ens dona $(2,7)$ i per tant $(2,0)$. Si repetim el mateix procediment, arribem a $(5,0)$ i $(1,0)$, $(4,0)$.
El resum és que aplicant aquest procediment repetits cops arribem a qualsevol configuració que volguem del tipus $(a,0)$, o moguent aigua a la gerra de $7$, qualsevol del tipus $(0,b)$. I ara si volem podem omplir l'altra gerra per arribar a $(a,7)$ o $(10,b)$.
En conclusió, les configuracions possibles són totes les que tenen $a=0, a=7, b=0$ o $b=10$. Quantes n'hi han d'aquestes?
Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.
Classificació 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat
o un curs inferior.
Medalla | # | Usuari | Data | |
---|---|---|---|---|
Or | carlos_paz | carlos_paz | 1 de març de 2024 a les 10:18 | 01/03/2024 |
Or | TomeuAndreu | TomeuAndreu | 1 de març de 2024 a les 15:19 | 01/03/2024 |
Classificació oberta
Usuaris que ja han superat
2n de Batxillerat.
Medalla | # | Usuari | Data | |
---|---|---|---|---|
Or | arakelov | arakelov | 3 de març de 2024 a les 20:56 | 03/03/2024 |
Or | MarcosAlonso | MarcosAlonso | 14 de març de 2024 a les 22:22 | 14/03/2024 |
Or | Albi | Albi | 30 de març de 2024 a les 0:06 | 30/03/2024 |
Xocolata | Pep123 | Pep123 | 1 de març de 2024 a les 15:14 | 01/03/2024 |
Xocolata | ChatGPT | ChatGPT | 29 de març de 2024 a les 21:58 | 29/03/2024 |