Pots pensar, què passaria si el tauler tingués mida 2x3? I mida 3x4? Fes dibuixos per tractar taulers petits. Intenta pensar com fer el càlcul en general.

Pots pensar en el recorregut que farà la línea, mirant per quines caselles passa en el recorregut. El recorregut comença en un quadrat d'una cantonada i arriba al quadrat de la cantonada oposada. Suposem que comença en la cantonada inferior esquerra. Llavors va movent-se de quadrat en quadrat, de vegades travessa una aresta cap al quadrat de dalt, de vegades cap al quadrat de la dreta. Si fas casos petits veuràs que mai passa per una cantonada d'una casella interior, llavors els quadrats pels que passarà seran: l'inicial, els quadrats als que arribi pujant i els quadrats als que arribi movent-se a la dreta (a la casella de la dreta).

Si puja de la fila 1 (més baixa) cap a la 38, puja 37 cops. De manera semblant podem calcular quants cops passa al quadrat de la dreta. Sumem i tindríem tots els quadrats.

Podem mirar el camí que fa la línea pels quadrats. Sempre que passa d'un quadrat a un altre ho fa passant per una aresta, perquè si passés per una cantonada (cantonada d'un quadradet del tauler) després de moure's $k$ unitats a la dreta i $l$ unitats cap a dalt, caldria que el pendent de la recta fos $l/k$. Però com que la diagonal sencera es mou $38$ unitats a la dreta i $39$ cap a dalt, el pendent també és $38/39=l/k$. Ara, com que $38/39$ és fracció irreductible, la única possibilitat per $k,l$ enters no més grans que la mida del tauler és $k=38, l=39$, o sigui que arribem a una cantonada quan ja hem passat per tot el tauler (hem arribat a la cantonada oposada del tauler).

Llavors, tenim la casella inicial ($1$) i després en cada columna (llevat de la primera) hi ha una casella a la que hem arriba fent un pas a la dreta. D'aquestes n'hi $38-1=37$. A més, en cada fila (llevat de la primera) hi ha una casella a la que hem arribat fent un pas a la esquerra. D'aquestes n'hi ha $39-1=38$.

En total, el nombre de caselles per les que passem és $1+37+38 = \boxed{76}$.