Es pot fer sense trobar el valor dels costats.

Per calcular l'àrea, descomponem la figura en trossos. L'hexàgon té el triangle original (d'àrea $S$), tres quadrats (d'àrea costat al quadrat), i els tres triangles externs que estan entre cada parella de quadrats. Pels quadrats, feu servir la fórmula de Pitàgores. I pels triangles feu servir la fórmula de l'àrea amb el sinus de l'angle (observeu que els angles dels triangles entre quadrats estan relacionats amb els angles del triangle original).

Sigui el triangle $ABC$ amb angles $\alpha, \beta, \gamma$ en les esquines $A,B,C$. Els costats amb aquesta notació serien $AB, BC, CA$. Llavors el triangle entre el quadrat de $AC$ i el de $BC$ té un angle que és $360^\circ-90^\circ-90^\circ-\gamma = 180^\circ-\gamma$ i té costats $AC$ i $BC$. Però aleshores la seva àrea és:

$$ \frac{1}{2} AC \cdot BC\cdot sin(180^\circ-\gamma )=\frac{1}{2} AC \cdot BC\cdot sin(\gamma)$$

Però aquesta és l'àrea del triangle original, per tant aquest triangle té àrea $S$. I el mateix argument el podem fer pels altres dos triangles, de forma que tots quatre triangles (l'interior i els tres exteriors) tenen la mateixa àrea.

Per tant l'àrea total és $S+S+S+S+AB^2+BC^2+CA^2$. Per la part de suma de quadrats de costats, penseu que la hipotenusa apareix un cop i la suma de quadrats dels catets és la hipotenusa al quadrat (per Pitàgores).

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.