Per comoditat podem numerar les persones del cercle en l'ordre en què estan $1,2,3,\ldots , 10$. Si la persona $1$ té color d'ulls blau, la $2$ tindrà als dos costats color d'ulls blau. Per tant, $3$ té color d'ulls blau. I també $5$ té color d'ulls blau, i també $7$ i també $9$. El mateix passaria si $1$ tingués color d'ulls verd. Llavors $1,3,5,7,9$ tindrien color d'ulls verd. Per tant aquestes cinc persones tenen el mateix color d'ulls.

Pots dir alguna cosa semblant començant pel color d'ulls de $2$?

Amb el mateix argument veiem que $2,4,6,8,10$ tenen el mateix color d'ulls. Llavors tenim dos grups de cinc persones amb el mateix color d'ulls. Però sabem que hi ha alguna persona amb color d'ulls verd i alguna amb color d'ulls blau. Per tant...

Numerem les persones del cercle en l'ordre en què estan $1,2,3,\ldots , 10$. Llavors $2$ està entre $1$ i $3$, així que $3$ té el mateix color d'ulls que $1$. Com que $4$ està entre $3$ i $5$, $1,3,5$ tenen el mateix color d'ulls. I continuant així $1,3,5,7,9$ tenen el mateix color d'ulls; mentre que raonant de la mateixa manera trobem que $2,4,6,8,10$ també tenen el mateix color d'ulls.

De manera que podem separar als $10$ en dos grups de cinc. Com que hi ha algú amb color d'ulls blau i algú amb color d'ulls verd, un dels grups té color d'ulls verd i l'altre blau. Per tant, $5$ persones tenen ulls blaus i $\boxed{5}$ tenen ulls verds.