Calcular els factorials és molt treball perquè són moltes multiplicacions i surten números molt grans. Per això és important poder calcular el nombre de zeros que té un producte sense calcular el número sencer. El nombre de zeros coincideix amb el nombre de factors de $10$ que té. Per tant coincideix amb el mínim del nombre de factors de $5$ i factors de $2$.

Mirem com es van afegint factors de $2$ i de $5$. Comencem amb $1! = 1$. Per passar a $2!$ multipliquem per $2$, guanyant un factor de $2$. Per passar a $3!$ multipliquem per $3$, per tant no guanyem cap factor de $2$ o $5$. Per passar a $4!$ multipliquem per $4$, guanyant $2$ factors de $2$. Ara, per passar a $5!$ multipliquem per $5$, afegint un factor de $5$. Llavors $5!$ té tres factors de $2$ i un factor de $5$. Ho podem escriure com una factorització de $5! = 2^3\cdot 5 \cdot x_5$, on $x_5$ és algun nombre coprimer a $2$ i $5$, que no ens importa.

Ho podem fer amb $6! = 2^4\cdot 5 \cdot x_6$ (on $x_6$ torna a ser el producte de la resta de factors). Així podem continuar. Ens adonem que sempre hi ha més factors de $2$ que de $5$, perquè abans d'un nombre que tingui factors de $5$, diguem $5^k\cdot m$, sempre ha sortit un altre nombre amb la mateixa quantitat de factors de $2$, el nombre $2^k\cdot m$.

Per tant, basta mirar el nombre de factors de $5$.

El nombre de factors de $5$ puja en $1$ quan multipliquem per un nombre que només té un factor de $5$. Com que hi ha infinits múltiples de $5$, el nombre de zeros possibles és arbitràriament gran. I si n'afegim d'un en un, passarem per totes les possibles quantitats de zeros. Per tant, per saltar-te una quantitat de zeros, cal que n'afegeixis dos zeros a la vegada, és a dir, que afegeixis dos factors $5$, multiplicant per un múltiple de $25$. El primer múltiple de $25$ és $25$.

Llavors en $25!$ ens saltem una possible quantitat de zeros, quina?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.