Primer pots comptar tots els trios de vèrtexos. Pel primer vèrtex hi ha $25$ opcions, pel segon hi ha $24$ opcions perquè cal que sigui diferent del primer i de la mateixa manera, pel tercer hi ha $23$ opcions. A més, com que és igual l'ordre en què escollim els vèrtexos, hem de dividir entre $6$. Amb això serien $25\cdot 24\cdot 23/6 = 2300$.

Però alguns d'aquests trios no formen un triangle, només quan els vèrtexos estan alineats. Això passa només en casos molt particulars, que podem comptar per separat.

Hi ha verticals, horitzontals i diagonals de diverses inclinacions. Cal que els comptem per restar-los del total.

De verticals i horitzontals hi ha $5+5=10$ línies i en cada una hi ha $5$ vèrtexos. De cada $5$ vèrtexos podem escollir $10$ trios diferents. En total $10\cdot 10 = 100$.

Després estan les diagonals de pendent $1$. Hi ha de $1$ o $2$ vèrtexos, que no ens interessen. De $3$ vèrtexos hi ha quatre, amb només un trio per diagonal; de $4$ hi ha quatre diagonals amb $4$ trios per diagonal; i de $5$ hi ha dues diagonals amb $10$ trios per línia. En total, $40$ trios.

De les diagonals de pendent $2$ o $1/2$ hi ha $12$ (quatre orientacions i tres per orientació). Per cada diagonal d'aquest tipus hi ha només un trio. Així que $12$ trios.

La resposta final és el nombre de trios total menys els que hem anat comptant, que són els alineats.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.